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一 中长期国债期货的报价

　　假设现在是1999年11月5日，2016年8月15日到期，息票利率为12%的长期国债的报价为94-28(即94.875)。由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是1999年8月15日，下一次付息日是2000年2月15日。由于1999年8月15到11月5日之间的天数为82天，1999年11月5日到2000年2月15日之间的天数为102天，因此累计利息等于：

　　该国债的现金价格为：94.875美元+2.674美元=97.549美元

　　总结：

　　根据已知息票利率i，到期日的长期国债的报价，以及其计算连续复利的频度，可以计算出从上次付息日到当天的累计利息。然后由报价加上累计利息就是购买者某天买该国债所要付的现金价格。所以，需要的条件包括三项：债券的报价，到期日，息票利率，付息频度。上面计算中的6美元，是根据息票利率算得的。由于美国政府债券都是半年付息一次，所以半年的利息收入为100*(12%/2)=6美元。报价部分的94-28中的94的单位是1美元，28的单位是32分之一美元，所以算出来是94.875。

　　二 交割券与标准券的转换因子

　　某长期国债息票利率为14%，剩余期限还有18年4个月。标准券期货的报价为90-00，求空方用该债券交割应收到的现金。

　　首先，我们应计算转换因子。根据有关规则，假定该债券距到期日还有18年3个月。这样我们可以把将来息票和本金支付的所有现金流先贴现到距今3个月后的时点上，此时债券的价值为：

　　由于转换因子等于该债券的现值减累计利息。因此我们还要把163.73美元贴现到现在的价值。由于3个月的利率等于，即1.9804%，因此该债券现在的价值为163.73/1.019804=160.55美元。

　　由于3个月累计利息等于3.5美元，因此转换因子为：

　　转换因子=160.55-3.5=157.05美元

　　然后，我们可根据公式：空方收到的现金=标准债的期货报价×交割债券的转换因子+交割债券的累计利息算出空方交割10万美元面值该债券应收到的现金为：1000×[(1.5705×90.00)+3.5]=144，845美元

　　总结：

　　首先是转换因子的计算。假设当前时点为t1，上一个付息日为t0，下一个付息日为t2。根据交割债券的剩余期限(2*X年+Y月，X表示剩余期限中有多少个“6个月”，Y表示有多少个“1个月”，0
　　为什么要减去上面标注为黑体的“这段时间的累计利息”？原因在于，计算时点t2的现值P2，以便进行债券的贴现计算的时候，已经将时段t0到t2应付的息票(这段时间的利息收入)算入现值P2中，进而算入P1中。而在时点t1，t0到t1的利息收入应该被算入债券现值中，而t1到t2的利息收入不应该被算入债券现值中。所以要减去“这段时间的累计利息”，也即t1到t2的利息收入。后面的黑体“交割债券的累计利息”应当被算入空头应收到的现金中的原因在于，从t0到t1的利息收入是属于空头的，从t1到t2的利息收入是属于多头的。但是由于还未到下一个付息日，所以空头没有实现这部分收入。而到付息日时，多头由于拥有债券，所以能获得t0到t1的利息收入(空头应得的)，以及t1到t2的利息收入(多头应得的)。因此，多头需要在完成交割时(也即买入债券时)将那部分空头应得的利息收入付给空头，也即黑体字所标的“交割债券的累计利息”。

　　计算中的1.04是指每次由于标准券规定的年利率是8%，而美国政府债券半年计息一次，所以半年的利率算作4%。一般来讲，以半年期计算的利率要比一年期的利率的一半要小一点点，这里折半计算可以有两种理解方式。一是由于美国政府债券都是按半年计息的，而直接在标准券中规定半年利率不符合常理，一般都是表明一年期的利率，所以在表示上写明是一年的，实际是由半年的乘以2得来的，所以在计算时候应该除回去；二是由于折半计算的误差不大，所以简便起见就折半计算好了。18年3个月的剩余期限，还有(2*18+1)个付息日，所以从0加到36。至于为什么3个月的利率是，是这么算出来的。假定3个月利率是r，已知六个月的利率是4%，所以(1+r)*(1+r)=(1+0.4)，也即每三个月计息一次，计算连续复利，得到三个月的利率。

　　三 确定交割最合算的债券

　　假设可供空头选择用于交割的三种国债的报价和转换因子如表3.2所示，而期货报价为93-16,即93.50美元。请确定交割最合算的债券。




国债

报价


转换因子




1


144.5


1.5186




2


120.0


1.2614




3


99.8


1.038



　根据以上数据，我们可以求出各种国债的交割差距为：

　　　　国债1：144.50-(93.50×1.5186)=2.5109

　　　　国债2：120.00-(93.50×1.2614)=2.0591

　　　　国债3：99.80-(93.50×1.0380)=2.7470

　　　　由此可见，交割最合算的国债是国债2。

　　四 国债期货价格的确定

　　假定我们已知某一国债期货合约最合算的交割券是息票利率为14%，转换因子为1.3650的国债，其现货报价为118美元，该国债期货的交割日为270天后。该交割券上一次付息是在60天前，下一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无风险利率均为年利率10%(连续复利)。请根据上述条件求出国债期货的理论价格。

　　首先，我们可以求出交割券的现金价格为：118+60*7/182=120.38美元

　其次，我们要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。由于期货有效期内只有一次付息，是在122天(0.3342年)后支付7美元的利息，因此利息的现值为：7e-0.3342×0.1=6.770美元

　　再次，由于该期货合约的有效期还有270天(即0.7397年)我们可以运用公式(2.13)算出交割券期货理论上的现金价格为：(120.308-7.770)×e0.7397×0.1=121.178美元

　　再其次，我们要算出交割券期货的理论报价。由于交割时，交割券还有148天(即270-122天)的累计利息，而该次付息期总天数为183天(即305天-122天)运用公式(2.14)，我们可求出交割券期货的理论报价为：121.178-7*148/183=115.5168美元




　最后，我们可以求出标准券的期货报价：115.5186/1.365=84.628美元




　　总结：

　　根据交割最合算的债券的报价，算出该交割券的现金价格。根据交割券的现金价格算出交割券期货理论上的现金价格。根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货的理论报价，即标准券期货的理论现金价格。简单总结为：交割最合算债券的报价--1-->交割券的现金价格(实际)--2-->交割券期货的现金价格(理论)--3-->交割券期货的报价(理论)--4-->标准券期货的报价(理论)。以上几步分别标注为第1,2,3,4步。