期。

图片
1
Delta通常用来表示期权价格对于标的价格的敏感程度，但Delta也能表示该期权合约到期时被行权的概率。

换言之，如果是欧式看涨期权，Delta就表示到期日时标的价格大于行权价的概率；如果是欧式看跌期权，Delta就表示到期日时标的价格低于行权价的概率。

举个例子，现有一个行权价为2.7的欧式看涨期权，Delta为0.5则意味着价格大于2.7的概率为0.5，同时行权价为2.75的欧式看涨期权Delta为0.45，则意味着价格大于2.75的概率为0.45，由此，我们可以推断出标的价格在2.7—2.75区间的概率应为：0.5-0.45=0.05。

用此方法我们可以计算出标的价格落在各价格区间的概率，以4月7日上证50ETF当月期权数据为例，可得到概率分布图如下：



然而此方法是有明显缺陷的，Delta的计算需要用到波动率，波动率的计算准度会影响到最终的结果。另外，我们需要假设标的价格服从对数正态分布，然而这在现实世界中往往并不成立，那么有没有方法既能表达隐含价格的概率分布，又不过度依赖于假设与模型呢？  

通过观察市场中蝶式期权的价格，我们能够估计标的价格在到期日的隐含分布。蝶式期权是一种期权组合，买入一份行权价较低和一份行权价较高的期权合约，同时卖出两份行权价居中的期权合约，看涨或看跌期权均可。不考虑期权费，买入一份蝶式期权在到期日时的损益图如下：

图片

上图中的蝶式期权由行权价为4、5和6的期权合约组成，可以看到蝶式期权在到期日时，只有在标的价格为4—6的区间时有收益，且最大收益为行权价间隔。总而言之，蝶式期权的特点是只有当标的价格在某一区间内时，到期时才有收益，且损益图对称，最大收益和最大亏损均为定值。

图片

上图为4/5/6、5/6/7和6/7/8三个蝶式期权构成的投资组合的到期收益，可发现当标的价格为5—7时，投资组合达到最大回报，且为蝶式期权的行权价之差1，以此类推，如果我们不断向投资组合中增加蝶式期权，达到最大回报的标的价格范围会不断增大，但最大回报仍保持为行权价之差不变。 



期权时代透明背景.png
2
再看期权费，由多个蝶式期权组成的投资组合会有一个价格，记为P，从另一个角度想，如果要给这个投资组合进行定价，其理论价格应为到期时收益×折现率×达到收益的概率，遵循无套利原则，理论价格与P应是相等的，更具体点可表达为：行权价之差×Prob×d=P。

上式中行权价之差代表到期时的最大收益，Prob为价格落在对应区间的概率，d为折现率，P为投资组合的价格，其中行权价之差、折现率都可轻易得到，P可由期权合约的报价得到，因此可以反求出标的价格落在对应区间的概率：

Prob=图片  

然而这种计算方法忽略了投资组合在最大收益和无收益之间的部分，为减轻这部分的影响，我们只能将价格区间拉大，但过大的价格区间也会导致预测结果价值不大，因此如何在此基础上缩小价格区间，就是下一步要解决的问题。  

仍以4/5/6、5/6/7和6/7/8三个蝶式期权构成的投资组合为例，当标的价格为5—7时，投资组合的回报均为1。假设标的在到期时价格只能为5、6或7，当标的价格为5时，支撑起整个投资组合回报的是4/5/6蝶式期权，因此标的价格刚好为5的概率应为4/5/6蝶式期权的价格与投资组合价格的比值：

图片。

其中，图片代表标的价格等于5的概率，P代表投资组合的价格，图片为4/5/6蝶式期权的价格，以此类推，可得出标的价格为6、7时的概率。

图片

以4月7日上证50ETF当月期权报价为例，用此方法计算可得到隐含价格。  

当日上证50ETF收盘价为2.743，上图显示市场预期上证50ETF在4月22日时的价格在2.75左右的概率最大，且价格小于2.75的概率要明显大于2.75的概率，与之前得到的Delta隐含价格概率分布对比，结果如下：

图片

可以明显看到，市场真实隐含的价格概率，下跌的可能更大，上涨的可能更小，价格分布明显左偏，且价格无明显变化的概率也更高，说明分布尾部也更厚。  

在实际计算中，我们发现有时投资组合的价格大于将来的最大收益，这明显是不合理的，经分析，这主要是由于买卖价差等因素影响，因此当投资组合的价格大于最大收益时，我们难以算出价格落在该范围里的真实概率，只能默认为100%。

此方法的另一个缺陷是，只能得到离散的价格概率分布，要得到连续的分布只能缩小行权价间距，用插值法或波动率倾斜模型计算不存在市场上的期权合约报价，会脱离市场。  

得到隐含价格概率分布的潜在使用方向，一是在标的的方向上给投资者参考，譬如隐含价格分布显示，在到期时标的很可能会大涨，投资者可据此交易标的；二是得到价格分布，投资者可根据该分布的合理性作出判断，对分布的标准差即波动率有看法，进而进行交易。


温馨提示：投资有风险，选择需谨慎。