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Black-Scholes模型

随机波动率实质上就是跳出了传统金融市场以一定时期内波动率作为恒定参数考虑市场的框架，而认为波动率本身是随着价格变化而变化的，这一变化过程符合随机过程。

在当前的金融市场，因为该类模型考虑的因素更多、理论基础更为严谨而受到不少投资者的关注。  

虽然Black-Scholes模型通过随机波动率对期权定价（某些宽松的假设实质上在交易过程中也是可以被接受的），也将影响期权权力的波动率及分布概率等问题引入到整个评估体系中，但当时还有诸多尚未解决的问题。  

其中一个重要的不足之处在于它对于基础资产价格回报恒定波动率（以及其波动率不受价格变化影响）的假设。这种假设意味着使用期权的对冲者要不断地对波动率假设进行调整来反映实际的市场价格数据，从而导致了对冲比例的不断变化。  

也导致了传统期权定价模型无法对隐含波动率的一些固有特性给予合理的解释。在现实市场中，Black-Scholes模型给出的期权理论定价也比较难吻合观察到的期权市场价格。  

Black-Scholes模型根据当前标的价格和静态波动率来得到当前的期权价格，存在着一些难以克服的缺陷，比如说假设股票价格的收益率是遵循一个固定的均值和方差的正态分布等。  

但是在实证中我们发现波动率事实上随时间变化有一个集聚过程，这与Black-Scholes模型假设有极大的出入。另外金融界与学术界也意识到金融价格时间序列的分布形态明显体现出尖峰厚尾的回报特点，也即是说市场的尾部风险较高，这实质上是期权定价中一个明显的溢价因素，且不能被固定波动率的假设所捕捉。  

除此之外，金融价格时间序列中波动率偏离后均值复归的特点也是Black-Scholes模型无法刻画的难点。在期权市场的实际交易中隐含波动率往往呈现波动率微笑形态，随着执行价格不同位置的变化，期权反推的隐含波动率并不一致。  

就波动率本身而言，我们可以由市场数据观察到它的主要特性包括：波动率簇集（volatility clustering）、回报分布尖峰厚尾（high peak/fat tails）导致的高波动率变化以及波动率均值回归（volatility mean-reverting）。  

其中尖峰厚尾特性是由于有不同方差的分布混合而产生的。显然，要对期权进行准确的定价，对于波动率随机过程的刻画就尤为重要，特别是在非平值期权的定价方面。  

出于以上的考虑，我们认为将随机波动率引入到期权定价当中十分有必要。  

随机波动率的主要思路是将标的资产价格的波动率描述为一个由价格水平、波动率均值回归趋势和波动率方差控制的随机过程。这样一来就提供了对波动率动态变化进行刻画的方式，进而也提供了对期权进行更加准确定价的可能。



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Heston模型：刻画波动率变化的基础模型

在克服之前所提到的诸多问题方面，目前业界主流的方法是对传统Black-Scholes模型的一些拓展，比如说我们知道在已知执行价格、标的价格、到期日的情况下，影响期权价格的主要因素是波动率和利率变化。  

所以可以用随机波动率模型和随机利率模型刻画这两个重要的因子，同时，在考虑波动率分布方面，除了之前提到的诸多特点外，因为它还有跳跃的情况，我们还可以加入随机波动率跳跃模型。  

如此一来，期权的定价实质上转变为了我们在资产价格、利率水平和风险价格之间平衡的解决方法。为了更加准确地在该框架下以刻画波动率的思路为期权定价，我们使用随机波动率模型来优化期权价格的计算。其中一个比较基础的模型就是Heston模型。  

Heston在1993年提出这种模型，并且提供了期权价格的闭式解。由于可以考虑资产价格和资产波动率的相关性，而且假设资产价格有一个扩散的过程，因此在这个模型中，期权的价格是通过计算看涨期权交割在实值区域的概率得到的。下面简单介绍一下其逻辑过程： 

Heston模型假设股票价格S服从扩散分布（几何布朗运动），其中以μ这个漂移参数作为波动方向的调整。Heston和B-S最大的区别是在判定波动率时不再认为其是一个常数，而是也服从一个扩散过程。  

在实际操作过程中可以运用伊藤定理来获得波动率，根据Cox、Ingersoll、Ross三人写出的随机偏微分方程，以不同参数分别刻画波动率均值复归的速度、波动率长期均值及波动率的波动率。此处模型考虑了加入波动率与回报之间相关性的联系，以使得波动率影响得以体现，这有赖两个方程的相关性分析。  

相关性参数的刻画尤为重要，因为它反映了价格变动的偏度，也很大程度上显示了价格回报尖峰厚尾的特点。

当相关性ρ>0时，会导致厚尾右偏：因为当波动率随回报的变大而变大，会对价格变动起到放大作用。与之相对的，当相关性ρ<0时，会导致价格回报厚尾左偏：因为当波动率随回报的变大而变小，会对价格变动起到减小作用。

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相关性之所以重要，除了上面讨论的一些原因，最重要的还是因为波动率变化的精确捕捉，我们可以在不同相关关系背景下为期权找到正确的价格。 

在金融市场，特别是股票市场，我们可以观察到明显的杠杆效用（leverage）和崩盘恐惧/巨灾（crash-ophobia）效应。杠杆作用通常被理解为当股票价值下跌会提升公司的财务杠杆比率，这意味着公司股权资产的风险加大，波动率加剧（回报与波动率正相关）。

而股票价值上升会降低公司的财务杠杆比率，从而降低公司股权资产风险，波动率降低（回报与波动率负相关）。  

我们知道Black-Scholes模型最大的问题之一就是恒定波动率假设不能捕捉的市场信息过多，也就造成了定价的相应偏差，但是若我们使用Heston模型的假设之后，在不同相关性下自然可以刻画之前期权偏差部分的变化。

在得到波动率与价格变化方程后，在t时刻，欧式期权的价格有剩余交割日（T-t），可以以传统B-S的交易框架以P1、P2两个概率概念代替原有的累计概率函数N（d）进行定价分析。P1和P2代表的其实正是我们看涨期权最后实值交割的概率。  

计算这里的P值需要反转计算风险中性机制，最后可以将其表述为一系列复杂的计算公式，但因为闭式解各级参数都有对应公式，需要的投资者可以直接套用。  

通过公式的计算，可以得到P1和P2值的闭式解，进而得到看涨期权的理论计算值。有了看涨期权的价格，看跌期权则可以通过call-put parity平价公式来得到。

在Heston模型的理论框架下，特别值得注意的一点就是回报分布的偏度、峰度是由波动率与回报的相关性决定的，而传统Black-Scholes模型中，波动率为恒定值，所以二者对同样的执行价格与标的产品定价时势必产生差别，下图是假设某资产价格变动及假设波动率与回报相关性分别为-0.5和与0.5时与Black-Scholes公式定价差异的变化情况。

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我们发现当波动率与回报假设为正相关时，实值看涨期权若以Heston模型定价会比Black-Scholes模型定价便宜，但若是虚值看涨期权状态则会比Black-Scholes模型定价更贵。

若波动率与回报假设为负相关时，实值看涨期权以Heston模型定价会比Black-Scholes模型定价更贵，但若是虚值看涨期权状态则会比Black-Scholes模型定价更便宜。  

实际上，在现实市场中，我们知道虚值看涨期权的交易价格通常会高于Black-Scholes模型所给出的价格，这背后有杠杆作用和巨灾效用的原因（巨灾效用也一定程度被解释为远期相对较差流动性的合约会有一定的流动性升水，导致隐含波动率较高）。  

与此同时，这样的特点与回报分布左偏厚尾的特点也较为一致，在相对低执行价格的位置，期权隐含波动率确实应该更高，这也意味着此时波动率与回报应该呈现正相关关系。  

所以我们可以认为对看涨期权定价时，当期权为虚值状态，设置其相关性为正相关，反之为实值状态时，则设置其相关性为负相关以拟合实际的市场状况。如此一来，最后我们还能得出符合市场状况的隐含波动率微笑曲线。



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Heston & Nandi模型：波动率历史记忆性的引入

事实上，尽管Heston模型在当前的金融工程领域已经得到了极大的重视，也因为其科学的理论假设得到业界的认可，但是该模型在校准参数与估计的过程中不可避免地会面临诸多问题，特别是对相关性的估计是一大难点。  

因此，业界另一个较为熟知的定价模型Heston & Nandi也越来越得到金融界人士的认可。其基本思路与T.Bollerslev(1986)提出的Garch模型有极大的关系。  

Garch模型是一个专门针对金融数据量体定做的回归模型，除去和普通回归模型相同之处，Garch对误差的方差进行了进一步的建模。在对资产价格变动的刻画方面，波动率作为最重要的因素之一，一直都是学术与业界研究的重点，而波动率聚簇及自相关的一些特性也开始越来越受到关注。  

因此，在对这些特性准确捕捉的诸多模型中，Garch模型才成为应用最为广泛的计量方法。基于对波动率精确的估计与预测，Garch的建模思路得以在Heston & nandi模型中对波动率的评估提供重要的参数信息。 

在Heston & nandi模型框架下，对于方差的变动是假设服从Garch（p，q）过程的，而模型具体参数的推导则又需要从到期日开始往前递归来完成。简单来说，模型的整体思路就是通过Garch过程模拟获得Garch参数后，以此为基础再通过递归推出Heston & nandi模型的参数，最终确定期权执行概率及期权价格。 

通常来讲，Garch（1，1）比较符合资产价格的波动情况，也具有足够的显著性说明问题。与此同时，Heston & Nandi在其文献中也证明过随着到期日长度的增加，Garch（1，1）提供的参数所生成的结果会与Heston模型的结果趋于一致。  

在Heston & Nandi模型框架下，对数回报应该符合Garch（1，1）过程。Heston & Nandi模型中峰度和方差的确定与Garch模型类似，只是在定价过程中，需要预设部分参数以进行递归运算。  

该模型期权的定价方式与之前Heston模型没有本质上的区别，但是在P的确定方面，Heston & Nandi模型需要进一步确定模型参数，最终寻得类似Heston模型P1、P2的结果进行定价。



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通过期权的隐含波动率推测其他执行价格的隐含波动率进行期权定价

上文就随机波动率相关的定价模型进行了讨论，不过其定价思路依然有一定的局限性，特别是在参数估计与计算的过程中，这导致模型的理论假设虽较为完备但运用复杂。  

所以在期权理论研究的相当长一段时间里，许多学者还就波动率微笑形态的变化进行了大量的工作。其中一个重要的结论在Skiadopoulos、Hodges和Clelow（2000）的论文中有提及，他们将行权价格和价值状态作为参数，通过PCA（主成分分析法）研究了在给定剩余到期时间下标普500指数隐含波动率的变化情况，他们将期权隐含波动率变化形态的研究推上了前台。 

Alexander（2001）在此基础上进一步应用PCA对不同行权价期权的隐含波动率与评价隐含波动率的偏离程度变化进行了研究，她的研究结果表明隐含波动率微笑的平行移动、倾斜变化及曲率变化分别占到了波动率方差整体的65%—80%、5%—15%和5%。  

这意味着我们在期权定价的过程中，对波动率微笑形态的理解实质上是最为重要的。而对该形态的描绘我们可以参考Brown & Randall在《If the skew fits》一文中所提及的方法：引入波动率构建函数，使用三项来构成期权价格可使用的波动率形态，分别是平值期权隐含波动率以函数中心的性质确定大致的估计，然后处理对波动率的修正问题。  

以tanh非对称函数体现低执行价格期权高波动率和高执行价格低波动率的特点，其中对偏度影响最大的分项的宽度由指定参数确定，最后，以Sech对称函数来增加隐含波动率在深度实值与深度虚值状态下的波动率。

如此一来，我们就可以通过流动性较好的期权隐含波动率引入skew的趋势及skew的程度最终得到修正后的深度实值到深度虚值波动率曲线，最终给各个执行价格期权定价。  

该方法也允许我们了解整个期权跨执行价隐含波动率的形态特点，进而解释65%以上的期权隐含波动率变动。换句话说，当我们拥有一条合理的波动率微笑曲线，则在价格变动时只需要确定平值期权的隐含波动率就可以进而推测其他所有执行价格的隐含波动率，以进行期权定价。



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随机波动率类模型引入期权定价方法的展望

本文通过多个贴近市场模型的具体实现提供了一种新的期权定价解决思路，即使市场参与者没有获得期权市场价格的渠道，抑或在流动性不够充裕的情况下，也可以按照标的实时价格通过本文提及的模型计算相对应的期权价格作为参与市场的参考。  

最主要的是，考虑到资产价格回报的诸多特点，随机波动率类模型的引入克服了以往期权定价的诸多不足。

除此之外，随着业界对期权隐含波动率变化了解的加深，从形状特点入手解决期权问题的思路也在本文有所提及。  

从波动率曲面来看，我们可以通过分析期限结构和波动率偏离来指导我们对市场方向性的判断，关于波动率曲面的深入研究，不论是对期权本身特性的了解，还是对发现潜在套利机会以及制订交易策略，都有着重要的意义。  

受限于篇幅，本文未就多个模型的推导过程进行介绍，但考虑到模型存在闭式解，投资者可自行直接使用模型框架方面理解。

最后，笔者非常认可George Box说过的那句话“基本上，所有的模型都是错误的，但有些是有用的”，所以我们不应该痴迷于某种精巧的模型而过分信任甚至夸大其效果，而应该借助模型本身分析了解其推论背后的特点和逻辑帮助我们判断面临的情况。


温馨提示：投资有风险，选择需谨慎。