偏离正态分布和风险度量

前面可以看出超额收益的正态分布大大简化了组合选择的过程。正态分布保证标准差是衡量风险的完美度量，因此夏普比率是证券表现的完美度量。然而，很多投资者通过观察相信资产收益对正态分布的偏离已经很显著，不可忽视。

正态偏离可以通过计算收益分布的高阶矩来看到。超额收益R的n阶中心矩为  ，一阶矩为0，二阶矩为方差的估计值  。

（注：对于一个关于均值对称的分布，比如正态分布而言，所有的奇数矩量（n=1，3，5，…）的期望都为零，而所有的偶数矩量都仅仅是标准差的一个函数。比如，四阶矩为3σ 4 ，六阶矩为15σ 6 。因此，对于服从正态分布的收益率而言，标准差σ提供了风险的全部信息，而资产组合的投资绩效可以通过夏普比率  来计算。然而对于其他非对称分布而言，奇数阶矩可能非零。一个比正态分布更大的偶数阶矩，加上一个负的奇数阶矩，意味着发生极端恶劣状况概率的增加。）

一个关于不对称性的度量，称为 偏度 （skew） ，计算公式如下：

偏差的立方有正有负。因此，如果分布是右偏，则如图5-5a中黑色的曲线，偏度为正。左偏如浅色曲线所示，偏度为负。当偏度为正时，标准差高估风险；当偏度为负时，标准差低估风险。

另一个正态偏离的度量考虑分布两端极端值出现的可能性，即从图像上来看有肥尾特征的情况，分布的尾部发生的概率较正态分布预测的要高，分布中部发生的概率则较正态分布的低，如图5-5b所示。这种度量称为 峰度 （kurtosis） ，计算公式如下：

之所以减去3是因为正态分布的上述比率为3，所以正态分布的峰度为零，峰度为正则说明存在肥尾现象。图5-5b中的肥尾曲线峰度为0.35。

图5-5a 正态和偏度分布（均值6%，SD=17%）

图5-5b 正态和肥尾分布（均值0.1，SD=0.2）

极端负值可能由负偏度以及负峰度产生。因此，我们需要一个风险度量来衡量极端负收益率的发生情况。注意偏度和峰度都为纯数值。它们不会随着高频观测值的年化而变化。极端负收益的频繁发生会导致出现负偏和肥尾。因此，我们需要揭示极端负收益发生的风险测度。我们将讨论业界最普遍使用的该种测度：在险价值、预期损失、下偏标准差和极端收益频率（3-sigma）。

估计表5-5中5个概率的偏度和峰度。